еще много примеров

SPL
В первой части мы отметили, как сотрудники образовательных учреждений в Клинцах нарисовали явку, которая зависела от четности номера УИКа. Как остроумно заметили в комментариях, не исключено, что это был сигнал SOS посланный будущим исследователям российских выборов.
В дополнение приведем еще один интересный случай, где специалисты по квантовой физике в г.Нальчике впервые применили процедуру (вторичного) квантования результатов и что из этого получилось (ссылка на страницу ЦИК):

Другие специалисты, по-видимому, перепутали куда писать 'Да' и 'Нет' на части участков (ссылка на страницу ЦИК):

Перейдем теперь к техническим деталям кода.
Детектирование аномальных кластеров
После округления до одной десятой процента, значения явки или результата принимают вид 71.1% или 85.6%. В каждом ТИКе я ищу совпадающие результаты (duplicates) и записываю число совпадений в дата-фрейм ds. Совпадающие элементы учитываются только если их больше или равно параметра min_n_duplicates, который по умолчанию равен трём. Также я вычисляю полное число совпадающих элементов total_duplicates по которому можно будет выделять аномальные ТИКи. Все это делает функция get_duplicates:

Пример ds для ТИК 5 Территориальная избирательная комиссия №5 в Спб (size число УИКов с одинаковыми результатами явки (дубликатов) в кластере):

или в графической форме:

Далее я выявляю дубликаты в каждом ТИКе и оставляю только результаты с вероятностью образования 0.1%, что приблизительно соответствует ошибке при дактилоскопии. Дата-фрейм dr с результатами можно сортировать по следующим параметрам: полному числу УИКов с совпадающими (хотя бы три раза) результатами total_duplicates, проценту УИКов с дубликатами от полного числа УИК в данном ТИКе pct_duplicates или вероятности возникновения кластеров prob_duplicates.
Модель для оценки вероятности кластеров
Для развития математической интуиции построим простую и, возможно, весьма грубую модель оценки вероятностей появления кластеров совпадающих результатов.
Допустим, каждый УИК внутри одного ТИКа может показывать с равной вероятностью результат внутри интервала 5%. Данное предположение является весьма консервативным, так как среднее стандартное отклонение явки УИКов внутри одного ТИКа на всех данных равно 9%, а среднее стандартное отклонение процента голосов ‘Да’ равно 7%.
После округления до десятых долей процента имеем n_levels=50 значений (10 уровней на один процент). Поэтому если к ТИКу приписано n_stations=40 УИКов и мы наблюдаем, что n_identicals=10 УИКов показывают одинаковый результат, то вероятность данного события можно закодировать следующим образом:

Если наблюдаются несколько кластеров, то формула немного усложняется и биномиальные коэффициенты заменяются на мультиномиальные коэффициенты. Так можно посчитать вероятность возникновения произвольного числа кластеров c помощью функции get_prob_duplicates:

Подобные задачи хорошо известны в математике игры в покер или кости. Также я провожу несколько численных экспериментов, чтобы подтвердить приведенные формулы.
Оценка по такой схеме работает в среднем, то есть она позволяет довольно хорошо идентифицировать аномальные ТИКи. Я определяю ТИК как аномальный, если модельная вероятность возникновения наблюдаемых кластеров меньше чем 0.1%.
Для каждого конкретного случая можно рассмотреть внимательно и при необходимости изменить параметры, такие как n_levels или n_stations, если значения явки или результата находятся не в одной окрестности, а образуют удаленные друг от друга группы.
Анализ третьей цифры результатов
Методы нулевой дисперсии и аномальных кластеров относятся к прямым доказательствам “рисования” результата выборов.
Теперь рассмотрим косвенные методы выявления аномалий. Методы основанные на анализе распределения частоты значений третьей цифры результатов являются немного более скучными, но зато хорошо изученными. После округления явки и результата до третей цифры (numpy.round(1)), она может принимать значения от 0 до 9. Далее применим функцию plot_first_digit которая быстро сделает всю работу за нас и нарисует распределение третей цифры. Так выглядят некоторые результаты:



Налицо аномальное количество нулей.
Большинство фальсификаторов по старинке используют калькуляторы и счёты где удобнее оперировать целыми числами.
Эти же аномалии можно изучить еще одним способом.
Выделим дробную часть голосов ‘Да’ или явки с помощью преобразования x-np.floor(x) и построим гистограмму получившегося распределения:


Налицо аномальное число результатов близких к целочисленным процентам.
Можно также применить округление до ближайшего целого с помощью преобразования x-np.round(x) и построить гистограмму получившегося распределения:


Давайте попытаемся понять, что означают полученные результаты. Видно, что на втором графике хвосты распределения собрались в центре и образовали колоколообразное распределение (не путать с дискуссией о гауссовости распределения явка-результат!). Это чистая ошибка округления результатов выведенных по заранее заданным значениям.
Начав с заранее заданной явки 82.0% (как это теоретически может происходить можно посмотреть на примере соседнего государства с похожим состоянием выборной системы), можно получить число проголосовавших путем умножения явки на число зарегистрированных избирателей N=1025. Получается дробное число 0.82*1021=838.2, которое надо округлить до 838. Поэтому итоговой явкой становиться число 838/1021=81.97%.
Каждое такое округление дает погрешность, которая равномерно распределена на интервале ±1/(2N) со средним значением в нуле. Далее, надо усреднить по всем УИКам с разным число избирателей. Число УИКов с небольшим количеством избирателей больше чем очень больших УИКов. Это объясняет форму колоколообразного пика на последнем графике.
Отмечу еще один интересный способ как можно получить данные без аномалий, но с фальсифицированным результатом. Надо лишь провести честное голосование и полученный результат ‘Да’ заменить на 100%-’Да’. Такой способ дешев и прост. В отсутствие института наблюдателей, он не обнаруживается статистическими методами и весьма эффективен для дезориентации оппонентов.
Рисование результатов, основанное на заранее заданных процентных результатах
При нормальном процессе голосования первичными являются цифры пришедших проголосовать и число бюллетеней за того или иного кандидата. После голосования из этих чисел выводятся проценты явки и процент поддержки победителя. В нарисованных результатах все происходит ровно наоборот. Первичным являются заранее заданные или выдуманные проценты и из них выводятся числа голосов.
Таким способом, например, были нарисованы выборы президента Сирии 2014 года, референдумы в ДНР и ЛНР в 2014 году, выборы в ДНР в 2014 и референдум о статусе Крыма, который был проведен 16 марта 2014. Детально все вышеупомянутые случаи разобраны в колабе. Также данный метод применялся в республике Беларусь.
В среде исследователей выборов этот метод получил кодовое название “Калькулятор”.
Чтобы понять, как это работает, рассмотрим идеальный пример результатов президентских выборов в Сирии, которые прошли 3 июня 2014 года. Согласно wikipedia имеем:
Башар аль-Асад: 10 319 723 (88,7%)
Хасан ан-Нури: 500 279 (4,3%)
Махер Хаджар: 372 301 (3,2%)
Зарегистрированные голоса: 15 845 575
Всего проголосовало: 11 634 412
Недействительные голоса: 442 108 (3,8%)
Итак:
Учитывая общее количество избирателей примерно 10 млн, один человек соответствует 0,00001%. Это означает, что результат 88.70000% имеет вероятность ~ 1/10000.
Результат Башара Асада 10 319 723/11 634 412 100=88.70000 %
Результат Махера Хаджара 372 301/11 634 412100=3.10000 %
Количество недействительных голосов 442 108/11 634 412*100=3.80000%
Все три результата имеют вероятность естественного происхождения (1/10000)^3 = 10^(-12).
Рассмотрим теперь данные референдума о статусе Крыма, который был проведен 16 марта 2014 (wikipedia).
Всего зарегистрированных избирателей: 306 258
Всего поданных голосов: 274 101
Выбор «Вступить в Российскую Федерацию»: 262 041
Число избирателей 274 101 из общего числа зарегистрированных избирателей 306 258 — 274101/306258 = 89.500%, а отношение количества «за» 262041 к количеству действительных голосов 274 101 равно 95.600%.
Снова мы видим, что все дробные цифры, начиная со второй цифры ТОЧНО равны нулю.
Учитывая общее количество избирателей ~ 300 000, один человек соответствует менее 0,001%. Это означает, что вероятность получить случайно 89,500% и 95,600% результатов составляет (1/100)^2 = 0.0001, что в 10 раз меньше вероятности ошибки 0.001 при дактилоскопии.
Оценка числа целочисленных аномалий методом Монте-Карло.
Приведем еще один более строгий способ оценки степени нарисованности выборных данных. Для каждого УИКа в значение числителя явки (пришедших проголосовать) или относительное число ‘Да’ (голоса “Да”) вносится небольшое возмущение. Затем методом Монте-Карло вычисляется ожидаемое значение числа УИКов с целочисленными результатами или явкой. Далее это сравнивается с числом целочисленных УИКов в данных голосования. Число аномальных УИКов — это разница между вторым и первым значением.

Видно, что аномальность данных находилась на нулевом уровне в 2000 году и аномальность результата 2020 года превзошла 2008 год почти в два раза.
Оценка аномалий по сообщениям наблюдателей
Статистические методы изученные выше могут доказать наличие аномалий в данных выборов. К сожалению, оценка полного числа аномальных голосов возможна только в рамках моделей, которые в свою очередь опираются на предположения. Проверить верность этих предположений не всегда представляется возможным, что приводит к неразрешимым спорам о применимости этих моделей.
Наилучшим методом оценки аномальных голосов является сравнение данных наблюдателей с данными ЦИК, которое традиционно позволяло оценить как величину вброса, так и переписки голосов. Если посмотреть на исторические данные, то разброс результатов выборов в каждом отдельном регионе невысок. Это говорит о том, что достаточно небольшого количества (добросовестных) наблюдений для установления полной картины. В практическом смысле, при наличии массовых аномалий это лучший метод из всех доступных нам.
Аномальные голоса можно разделить на три типа: вброс голосов, перепись голосов в пользу лидера и чисто придуманные результаты.
Сравнение данных наблюдателей с данными ЦИК традиционно позволяло оценить как величину вброса, так и переписки голосов. При анализе расхождений часть регионов показывала чисто вертикальное смещение в координатах процент лидера-явка, что соответствовало переписыванию голосов от одного кандидата к другому. В других регионах преобладала тенденция диагонального смещения результатов, что соответствовало вбросам.
Из-за растянутости референдума число участков, где наблюдение покрыло как досрочное голосование, так и основной день крайне ограничено. Много детальных отчетов можно почитать у наблюдателей Петербурга или у отдельных наблюдателей из Татарстана.
Мы используем несколько известных случаев, где наблюдение велось все дни голосования для того, чтобы выяснить возможный масштаб отклонений. Если у вас есть дополнительные примеры, вы можете скорректировать сказанное ниже.
Пример 1: Разница в явке порядка 50% между УИК 371 г. Уфа и соседними участками не покрытыми наблюдателями (cсылка на источник)