[Физика] Задача о форме поверхности вращающейся жидкости

Ответить на тему

Автор

Сообщение

news_bot ^®

Стаж: 6 лет 9 месяцев
Сообщений: 27286

news_bot ^® написал(а)
09-Июн-2021 01:33

Цитировать

Размешивая утром сахар в чае или кофе, можно заметить, что форма поверхности воды в стакане принимает форму воронки. О том, какая эта форма люди задумывались давно, например, на Хабре есть статья, где утверждается, что это параболоид (парабола, если смотреть в разрезе). Однако, легко убедиться в том, что на самом деле это не совсем парабола. Вернее, совсем не парабола. А что же это тогда ?Для того, чтобы вычислить, какую форму приобретёт вода (ну или другая жидкость) в стакане, необходимо учитывать вязкость и влияние стенок стакана. Поэтому здесь надо использовать уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку стакан имеет цилиндрическую форму, то и уравнения Навье-Стокса надо записать в цилиндрических координатах, где ось z идет по центру стакана и направлена вверх, а r - расстояние от этой оси. В общем виде уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах выглядят следующим образом (Ландау-Лифшиц Гидродинамика):

Здесь ро - плотность жидкости, а ню - кинематическая вязкость.
Решить такую систему уравнений в аналитическом виде представляет большую сложность, поэтому мы сделаем два разумных упрощения. Первое, будем считать, что дно стакана не воздействует на форму жидкости, т.е. стакан достаточно глубокий. Второе - будем считать, что скорость вращения жидкости по окружности значительно больше, чем скорость перемещения жидкости вверх-вниз и от центра стакана к и от его стенок. Т.е. этими скоростями можно пренебречь. С учетом таких упрощений, третье уравнение нашей системы превратится в тождество, а оставшиеся два будут выглядеть следующим образом:

Давление внутри жидкости в любой точке прямо пропорционально столбу жидкости над этой точкой и вычисляется по известной формуле:

где g - ускорение свободного падения, а y - высота столба жидкости для фиксированного z, которая, собственно, и задаёт форму поверхности. Таким образом, первое уравнение можно переписать в следующем виде:

Надо заметить, что если угловая скорость omega постоянна, то можно получить пресловутую параболу, поскольку:

Однако, в нашем случае касательная скорость зависит от расстояния до стенок, поскольку, согласно гидродинамике, скорость около стенок равна нулю. Значение этой скорости получим из второго уравнения:

Касательная скорость зависит не только от расстояния до стенок стакана, но и от времени, поскольку жидкость вязкая, энергия вращения теряется на трение. Для того, чтобы решить второе уравнение, представим касательную скорость в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от расстояния от оси стакана, а вторая только от времени:

Подставив во второе уравнение, получим:

Если разделить это уравнение на саму функцию и ню, то легко увидеть, что первая часть равенства зависит только от времени, а вторая только
от r. Значит, их можно приравнять некоторой константе лямбда:

Решим сначала уравнение для той части, которая зависит от расстояния от центра стакана r:

Продифференцируем выражение в скобках:

Раскроем скобку:

Сгруппируем и умножим на r в квадрате:

Получилось красивое дифференциальное уравнение, но мешает лямбда. Чтобы от нее избавиться, сделаем замену переменной:

Тогда:

И наше уравнение принимает вид:

Это уравнение Бесселя первого порядка. Для того, чтобы точно узнать распределение касательной скорости, надо воспользоваться граничным условием, гласящим, что у стенки стакана скорость будет равна нулю, то есть это будет первый нуль функции Бесселя первого порядка равный:

Из этого условия можно найти значение лямбда. Поскольку

где R - радиус стакана, можно найти

Таким образом, распределение касательной скорости от расстояния от центра стакана будет выглядеть следующим образом:

Для того, чтобы найти зависимость касательной скорости от времени, подставим найденное значение лямбда в ту часть, которая зависит только от времени:

Решив это уравнение, получим:

где C - константа. Можно подсчитать, за какое время касательная скорость уменьшается в два раза:

Окончательно зависимость касательной скорости от расстояния и времени будет:

Найдем теперь, собственно, форму поверхности. Для этого подставим значение касательной скорости в уравнение для y:

Интегрируем и получаем:

Здесь C1 и C2 - константы, зависящие от того, насколько сильно мы раскрутили жидкость и от глубины нашего стакана. Профиль нашей вращающейся жидкости будет выглядеть следующим образом:

А если его представить в 3d, то вот так:

Похоже ли это на реальную форму чая у вас утром, пишите в комментариях.
===========
Источник:
habr.com
===========
Похожие новости:

Теги для поиска: #_fizika (Физика), #_vraschajuschajasja_zhidkost (вращающаяся жидкость), #_poverhnost (поверхность), #_fizika (
Физика
)

Профиль ЛС

Ответить на тему

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах
Вы не можете прикреплять файлы к сообщениям
Вы не можете скачивать файлы

Текущее время: 22-Ноя 23:49
Часовой пояс: UTC + 5